Sin calculadora

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Estábamos mis hijos y yo el martes pasado (un martes más) en la biblioteca, sin calculadora ni móvil (¡qué adelanto!)… Tocan deberes de matemáticas: potenciar y radicar. Lo primero a mano, lo segundo, según leo en el enunciado, con calculadora, y no tenemos una a tiro.
Mi hijo me dice que eso lo deja para cuando llegue a casa, que sólo tiene que comprobar si las raíces son exactas o no. Bueno, le contesto al ver que sólo hay diez operaciones, eso lo hacemos en un periquete sin calculadora.

—¿Cómo, papá? —pregunta Etién intrigado. Se gira en la silla y veo el interés en sus ojos.
—Si sólo es comprobar que son exactas, es muy fácil hacerlo por aproximación. No es el método de operación que enseñan en la escuela, pero es muy rápido.

Mi hijo observa los diez números que aparecen en la hoja (todos por encima de mil y por debajo de cien mil) y me vuelve a mirar, extrañado. Seguro que cree que lo que le estoy diciendo no es tan fácil y va a tener que ponerse a calcular.

—Vamos a ver, Etién, tacha todas las raíces que acaben en 2, 3, 7 u 8.

Me sonríe, las busca y, ¡vaya!, no hay ninguna, pero pregunta:

—¿Por qué las que acaban en 2, 3, 7 u 8 no son exactas?
—Nunca lo serán —y le dibujo una U.

1          9
2          8
3          7
4          6
     5

—Antes de empezar, en las matemáticas se producen pares de operaciones: una y su contraria. ¿Correcto? Sumar y restar, multiplicar y dividir… Y en este caso, potenciar y radicar.
»Bien. Uno elevado a uno ¿cuánto da?».
—Uno.
—¿Y termina en…?
—Pues en uno.
—Bien. ¿Y nueve por nueve?
—Ochenta y uno.
—¿Y termina en…?
—¡Uno!
—Ahora ya sabemos que todos los números que acaben en uno pueden ser el resultado de una potencia de un número terminado en uno o nueve. El dos y el ocho tienen la misma terminación: cuatro. El tres y el siete, comparten el nueve. Y el cuatro y el seis…
—¡El seis!
—¿Y el cinco?
—¡El cinco!
—Sí, el cinco es el único número que puede dar potencias y raíces acabadas en cinco. Y nos falta el cero, pero ya sabes que cero por cero es…
—Cero.
—Ahora vamos a aproximar. Lo más fácil es situar una horquilla y ver entre qué potencias nos encontramos.

Aquí vuelvo a ver mi hijo con cara de no entender nada.

—Es fácil, Etién, no te preocupes. Vamos a ver: ¿10 · 10?
—100.
—¿2 · 2, que es lo mismo que 20 · 20?
—4.
—Bien, y le añadimos los dos ceros y ya tenemos 400. ¿Ves?: es fácil saber entre qué dos decenas tenemos una raíz. Entre eso y las terminaciones la aproximación es muy fácil. A ver, el primer número: 5184. ¿Entre qué dos decenas está?

Se produce el típico silencio que indica que todavía no ha asimilado el procedimiento.

—¿70 · 70?
—7 · 7, 49, más dos ceros: 4900.
—¿Y 80 · 80?
—64, más dos ceros: 6400.
—Correcto, y como termina en 4… —Con el dedo le apunto a la U de las terminaciones que acabamos de dibujar.
—Sólo puede ser 72 y 78.
—Empezamos por el número más bajo. Y si el número más bajo es más alto que el que nos preguntan, el más alto no hace falta comprobarlo, ¿de acuerdo? ¡Vamos a comprobarlo!

Etién hace la comprobación y, ¡tachán!, la tiene hecha en unos pocos segundos.

—Siguiente: 2975. ¿Entre qué dos decenas se encuentra?
—Entre la del 50 y la del 60…

(¡Claro, entre 2500 y 3600!).

—Y como acaba en 5…
—Sólo puede ser 55.
—Comprueba.

Etién hace la comprobación y, no, no es exacta.

—Otra: 4896.
—Ésta está entre…
—No lo compruebes, cariño, ésta no es exacta.
—¿Cómo lo sabes?
—A ver, las potencias se suceden de números pares a impares —Le escribo las potencias de 1, 2, 3, 4, 5 (1, 4, 9, 16, 25)—. Y no puede haber dos potencias seguidas pares o impares. 4900 es 70 · 70, y 4896 también es par, luego es imposible. Además, como ves, las potencias de un número y su siguiente aumentan de forma más gorda.

Me vuelve a mirar extrañado.

—Sí, mira. Esto que te voy a dibujar aquí lo descubrí un día en la ducha. Las potencias se producen por suma de impares sucesivos. Y ya sabes que par más impar da par, y que impar más impar da par. Mira…

En la hoja escribo:

1 = potencia de 1 = 1

1 + 3 = potencia de 2 = 4

1 + 3 + 5 = potencia de 3 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = potencia de 4 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = potencia de 5 = 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = potencia de 6 = 36

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = potencia de 7 = 49

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = potencia de 8 = 64

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = potencia de 9 = 81

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = potencia de 9 = 100

—¿Ves?, cada vez el hueco entre los resultados es más grande.
—Y 4896 está muy cerca de 4900.
—Sí, está demasiado cerca y, además, son dos pares consecutivos.
—Papá, eso de la suma de impares es muy chulo… Aunque seguro que lo habían descubierto antes.
—Sí, lo descubrieron antes, pero yo no sabía que estaba descubierto. Yo descubrí que lo descubrieron después de haberlo descubierto.

Comecocos. Imagen de Yago Gallach Pérez.

»Y sobre lo de pares e impares, ¿recuerdas cuando tu hermana me pedía que le dijera un número del 1 al 50?».
—Sí.
—Eso no se lo he explicado aún a ella, pero siempre me ha hecho mucha gracia verla contar. Como el juego tiene sólo dos posiciones, si le decía el 47, bastaba con que pusiera una posición. Y si le decía el 28, tenía que llegar a la posición par.
Me mira y se ríe.
—¡Claro! Basta mover una o dos veces los dedos.
—Eso es.

Al final, resolvimos el resto de las operaciones de manera rápida, limpia y sencilla (¡y sin calculadora!) y mi hijo concluyó:

—Papá, mis amigos el cole van a alucinar con este método.
—Explícalo bien y verás cómo les gusta.

Me alegro mucho de no haber tenido una calculadora a mano, porque el martes a mi hijo le gustó razonar y pensar. Además, vi en él esa feliz expresión de revelación, esa que se produce cuando has conseguido comprender algo que parecía imposible.

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